[Calculus] Techniques of integration - Integration by parts

Integration by parts(부분 적분법)

 

∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx

 

공식을 전개 하면 f(x)는 f'(x)로 바꾸어 적으므로 미분을 해야 하고, g'(x)는 g(x)로 바꾸어야 하므로 적분을 해야된다. 즉 미분을 하기 쉬운 식을 f(x)로 두고, 적분 하기 쉬운 식을 g'(x)로 둔다. 곱하기는 교환법칙이 성립 하므로 순서는 바뀌어도 상관이 없다.

 

Example1) Evaluate ∫ x sinx dx

∫ x sinx dx = ∫ f(x)g'(x) 좌변을 우변의 형태로 만든다. 즉 f(x) = x로 두고 g'(x) = sinx로 둔다.

f(x) = x , f'(x) = 1

g'(x) = sinx , g(x) = -cosx

f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x)dx = - x cosx - ∫ -cosx dx = x cosx + sinx = x cosx + sinx + C

 

Example2) Evaluate ∫ lnx dx

항이 한 개 뿐이라 부분적분법을 사용해야 되겠다는 생각이 들지 않을 수 있으나, 보이지 않는 항 하나는 1로 두고 계산해야 되는 경우가 있다.

∫  lnx dx = ∫ (lnx)(1) dx

f(x) = lnx , f'(x) = 1/x

g'(x) = 1 , g(x) = x

 

f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) = x lnx - ∫ (x) (1/x) dx = x lnx - ∫ 1 dx = x lnx - x + C

 

Example3) Evaluate ∫ t²e^t dt

부분적분법 공식을 적용 했는데 바로 적분이 되지 않는다고 해서 부분적분법으로 풀 수 없는 문제인 것은 아니다. 부분적분법을 여러번 누적해서 적용해야 풀리는 경우도 있다.

 

f(t) = t² , f'(t) = 2t

g'(t) = e^t , g(t) = e^t

f(t)g(t) - ∫ g(t)f'(t) dt

t²e^t - ∫ e^t 2t dt = t²e^t - 2∫ te^t dt

 

f(t)  = t , f'(t) = 1

g'(t) = e^t , g'(t) = e^t

t²e^t - 2∫ tet dt = t²e^t - 2( f(t)g(t) - ∫ g(t)f'(t) dt ) = t²e^t - 2te^t - 2∫ (e^t)(1) dt

= t²e^t - 2te^t - 2e^t + C

 

Example4) Evaluate ∫ e^x sinx dx

부분적분을 여러번 했는데도 더이상 식이 간소화 될 기미가 보이지 않을 때가 있다. 하지만 이 여러번의 적분을 통해서 처음과 같은 모양이 나온다면 파생된 식을 통해서 적분된 식(원시함수)을 구해 낼 수 있다.

 

f(x) = sinx , f'(x) = -cosx

g'(x) = e^x , g(x) = e^x

 

∫ e^x sinx dx = e^x sinx - ∫ (e^x)(-cosx)  dx = e^x sinx + ∫ e^x cosx dx

∫ e^x sinx dx =  e^x sinx + ∫ e^x cosx dx ①

 

f(x) = cosx , f'(x) = sinx

g'(x) = e^x , g(x) = e^x

 

∫ e^x cosx dx = e^x cosx - ∫ e^x sinx dx

보면 우리가 풀고자 하는 ∫ e^x sinx dx 의 모양이 보인다. 변을 정리하여 식을 만들어 낸다.

∫ e^x sinx dx = e^x cosx - ∫ e^x cosx dx ②

 

위에서 나온 식과 모양이 흡사하다. 두 식을 더하면 우변의 적분기호가 사라진다.

 

2∫ e^x sinx dx = e^x sinx + e^x cosx

∫ e^x sinx dx = (e^x sinx + e^x cosx)/2

 

 

 

꼬인 적분 문제를 풀려면 여기서 더 응용되는 문제도 풀어야 하지만, 뒤에 배우는 벡터, 다변수 등의 파트에선 그렇게 복잡한 적분법을 요구하지 않는다.