[Calculus] Double Integral

어떠한 영역 위에 곡면이 있을 때 그 영역과 곡면 사이의 공간의 체적을 구하는 것이 목적이다.

 

 

 

위 사진을 보면 xy평면에 네모난 영역이 있고 그 위에 곡면이 있는 것을 볼 수 있다. 이런 상태에서 저 volume을 구하고자 하는 것이다. 그림에 나와 있는 것 처럼 영역이 사각형인 경우가 가장 구하기 쉽다.

 

 

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1. Double integrals over rectangle

 

저 사각형 영역을 수많은 조각으로 쪼개어 그 조각의 넓이와, 조각의 한 지점의 높이를 곱하면 그 조각 영역의 부피의 근사값이 나온다. 그 모든 조각 영역의 부피를 다 더하면 전체 부피의 근사값이 나오는 것이다. 조각을 세밀하게 나눌 수록 그 근사값은 실제 값에 가까워 지고, 그냥 극한을 취해 버리면 그 극한값이 부피가 되는 것이다.

 

V = lim_{m,n→∞ m}∑_{i=1 n}∑_j=1 f( x_i , y_i ) △x△y

 

설명 하자면, m과 n을 무한대로 보낼 때(조각의 갯수를 수없이 늘린다) 그 조각 하나하나에 대하여 조각의 세로변(조각 첫 부분과 끝부분의 차이, 즉 x축상의 길이)과 가로변을 곱한 조각의 넓이에, 높이(z의 값. 조각안의 임의의 한 점 (x, y)의 함수값)를 곱한 모든 값을 더한 값 이라고 할 수 있는데..

 

 

이해 안되면 공식만 외우면 된다. 위 식은 실제 계산에서 사용되는 공식이 아니다. 즉 알 필요 없다. 그냥 고개를 한번 끄덕이고 넘어가면 된다. 저 너무 복잡한 식을 매번 쓰기 귀찮으니 아래와 같이 쉽게 이중 적분으로 표현한다.

 

V = ∬_R f( x , y ) dA

 

그냥 줄여서 이렇게 표현 한다. 사각형 R영역 상의 f( x , y ) 곡면 아래부분의 체적을 구하라는 것이다. (위 그림의 volume)

 

그럼 이걸 어떻게 계산 하는가? 푸비니 정리(Fubuni's Theorem)를 이용한다.

 

∬_R f( x , y ) dA = ∫_a^b ∫_c^d f( x , y ) dy dx =  ∫_c^d ∫_a^b f( x , y ) dx dy

 

a≤x≤b, c≤y≤d 영역상의 f( x , y ) 곡면 아래의 부피를 구하려면 위와 같이 적분을 두번 해 주면 된다는 뜻이다. 안쪽에 있는 것 부터 편적분을 하면 된다. y에 관해서 먼저 적분하든, x에 관해서 먼저 적분하든 순서는 상관이 없다.

 

f( x , y )가 x만의 함수와 y만의 함수의 곱으로 인수분해 되는 특별한 경우에는 아래와 같이 두 개의 단순적분의 곱으로 쓸 수 있다.

 

∬_R f(x) g(y) dA = ∫_a^b ∫_c^d f(x) g(y) dy dx = ∫_a^b f(x) dx ∫_c^d g(y) dy

 

문제는

 

Example1) Evaluate ∬_R sinxcosx dA, R=[0, π/2] X [0, π/2]

 

∫₀^π/2 sinx dx ∫₀^π/2 cosy dy

= -cosπ/2 sinπ/2 = 1*1 = 1

 

 

Example2) 평면 3x + 3y + z = 12 아래에 있고 사각형 R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3 } 위에 놓여 있는 입체의 부피를 구하여라.

 

3x + 3y + z = 12 를 x,y에 관한 함수로 바꾸면 z = -3x - 3y + 12

f( x , y ) = -3x - 3y + 12

 

∫₀¹ ∫_-2³ ( -3x - 3y + 12 ) dy dx = ∫₀¹ [ -3xy - 9y² + 12y]_-2³  dx =

= ∫₀¹ [ -15x² + 55x ] dx = -7.5x + 55 = 47.5

 

 

 

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2. Double integrals over general regions

 

직사각형 영역 뿐만 아니라 좀 더 일반적인 영역에서의 적분도 필요 하다. 일반적이라고 해 봐야 함수로 표현 가능한 범위 내에서 가능 한 것이다.

 

 

주로 위와 같이 함수로 둘러쌓인 영역을 취급한다. 이럴 경우엔 쉽게 y범위를 상수 대신 함수로 잡아 버리면 된다.

 

∬_R f( x , y ) dA = ∫_a^b ∫_g1(x)^g₂(x)  f( x , y ) dy dx

 

물론 푸비니의 정리에 의하여 순서를 바꾸어 dx를 먼저 계산 할 수도 있지만 함수를 먼저 처리 해 두고 상수를 넣는게 계산하기가 훨씬 쉽다.

 

이런 경우도 마찬가지. x의 범위를 함수로 잡는다.

 

∬_R f( x , y ) dA = ∫_c^d ∫_g1(x)^g₂(x) f( x , y ) dx dy

 

 

이렇게 두 함수로 둘러 쌓인 영역위의 적분을 하라는 문제도 나온다. 이럴때는 먼저 두 함수의 교점을 구한다.

위 그림에서 √x = x³ s로 두고 계산하면 교점은 ( 0 , 0 ) 과 ( 1 , 1 ) 이 나온다. 

 

이렇게 완전히 함수로 둘러 쌓여 있는 경우 어느 변수의 범위를 상수로 잡든 상관 없다.

저 영역을 y에 관한 함수로 보면 D = {(x , y) | y = √x , y = x³ , 0 ≤ x ≤ 1 }이지만

x에 관한 함수로 보자면  D = {(x , y) | x = y² , x = ³√y , 0 ≤ y ≤ 1 }이다.

 

∬R f( x , y ) dA = ∫01 ∫x3√x f( x , y ) dy dx = ∫01 ∫3√yy2 f( x , y ) dy dx

 

이렇게 두가지 방식으로 모두 계산이 가능하다. 위 예제는 굳이 x에 관한 함수로 볼 필요 없이 y에 관한 함수로 해석 하는게 편하지만 이런 적분 순서의 조정은 문제 해결에 있어 아주 중요하게 작용 할 때가 많다. 아래 문제를 풀어보자

 

Example3) Evaluate ∫₀¹∫_x¹ sin(y²) dy dx

 

위 문제를 순서대로 풀려면 sin(y²) 를 적분 해야 하는데 이는 적분이 불가능한 함수이다. 따라 이대로는 계산을 할 수 없고 순서를 바꾸어야 한다.

위 식에서 범위를 결정하는 함수는 y에 대한 함수로 y=x , y=1 와 x의 범위 0≤x≤1 임을 알 수 있다. 이를 x에 관한 함수로 바꾸면 x=y , x=0 와 0≤y≤1 가 된다. 이해가 잘 안되면 직접 그래프를 그려 보면 된다.

따라서 y에 관한 형태를 x에 관한 형태로 바꾸면

∫₀¹∫_x¹ sin(y²) dy dx = ∫₀¹∫₀^y sin(y²) dx dy 가 된다.

 

sin(y²) 를 x에 관하여 적분하면 sin(y²) 는 상수로 취급 되기 때문에

∫₀¹∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀¹ [sin(y²)x]₀^y dy = ∫₀¹ y sin(y²) dy = -1/2 [cos(y²)]₀¹ = (1-cos1)/2

 

이런식으로 계산이 된다. 

 

 

이런 식의 범위는 어떻게 해석 해야 될까? 범위를 보면 y에 관해서 해석 할수도, x에 관해 해석 할수도 없다. 이럴 경우엔 x = 1을 기준으로 나누어 두가지 범위로 해석 하여야 한다.

x = 1 을 기준으로 왼쪽을 D1, 오른쪽을 D2라고 하면 D1은 x = -y/2 + 3/2 , x = 1 로 둘러 쌓이고 y가 [1,3]인 범위로, D2는 y = x/2 + 1/2 , y = 3 로 둘러 쌓이고 x가 [1,5]인 범위로 볼 수 있다.

 

D1 = {(x , y) | -y/2 + 3/2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 }

D2 = {(x , y) | x/2 + 1/2 ≤ y ≤ 3 , 1 ≤ x ≤ 5 }

 

좀 복잡 해 보일 수도 있겠지만 다르게 생각하면 한 도메인으로도 해결 된다. 전체를 x에 관한 함수로만 생각하면 x = -y/2 + 3/2 와 x = 2y - 1로 둘러 쌓인 그래프를 y가 [1,3]인 범위로 볼 수도 있는 것이다.

 

D = {(x , y) | -y/2 + 3/2 ≤ x ≤ 2y - 1 , 1 ≤ y ≤ 3}

 

경우에 따라서 계산하기 쉬운 방식으로 범위를 적분 순서와 방식을 정해 가며 풀어야 한다.

 

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3. Double integrals over polar coordinates

 

원이나 부채꼴의 그래프는 직교좌표로 표현 하는 것 보다 극좌표로 표현하는게 더 쉽다. 극좌표로 그린 여러 그래프들은 일반 직교좌표로 표현하기 힘든 경우가 많다.

영역이 이와 같이 극좌표로 표현되기 쉬운 모양이거나, 극좌표로만 표현 될 수 있을땐 극좌표 상에서 이중적분을 수행 해야 한다.

 

직교좌표 보다 극좌표로 생각하는 것이 쉬울 경우 아래의 관계를 이용해서 변환하여 계산하면 된다.

 

r2 = x2 + y2  ,  x = rcosθ  , y = rsinθ

 

극좌표도 직교좌표와 같다. 변수가 x, y 대신 r과 θ로 결정 될 뿐. 물론 극좌표에 익숙하지 않은 사람이라면 이해 하는데 시간이 좀 더 걸리겠지만. 문제만 이해하면 공식에 대입해 넣고 푸는건 마찬가지다.

 

 

위 그래프를 보면 θ의 범위는 [α, β] 임을 알 수 있다. r의 범위는 함수로 표현되어 있다. [g(θ), f(θ)] 이다.

직교 좌표의 영역은 D대신 R이라는 심볼을 사용한다.

 

R = { (r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g(θ) ≤ r ≤ f(θ) }

 

이렇다. 직교좌표와 변수만 바뀌었지 똑같다. 문제를 풀 때에도

 

∫_β^α∫_g(θ)^f(θ) f( r , θ ) r dr dθ

 

같은 방식으로 넣어서 풀어 주면 된다. 곡면이 f( x, y ) 형태로 주어진다면

 

∫_β^α∫_g(θ)^f(θ) f( r cosθ , r sinθ ) r dr dθ

 

이렇게 변형 해 주면 된다. 여기서 차이점은 그냥 dr dθ가 아니라 r이 한개 더 붙은 r dr dθ 라는 것이다. 이런 차이는 적분 공식을 도출 할때 직교좌표에선 세로가 △x 가로가 △y 인 수많은 직사각형들로 나누지만, 극좌표에서는 위 그림과 같이 부채꼴의 일부인 극정방형(polar rectangle)들로 나누기 때문에 발생하는 차이이다.

 

직사각형의 넓이는 △x△y 이지만 극정방형의 넓이는 부채꼴의 넓이 공식인 ½r²θ을 이용하여 ½r_i²△θ - ½r_i²△θ 가 된다. 이런 방식과 공식의 차이로 인해, 이중적분 공식 도출 과정을 거치면 r이 하나 더 붙게 된다. 그냥 외워도 되지만, 자세히 알고 싶다면 여기선 지면상 생략 할테니http://blog.naver.com/mindo1103/90103078868 이 블로그의 포스팅을 참고 하기 바란다.

 

여튼 대부분의 문제는 직교좌표의 형태를 극좌표로 변경하여 푸는 형식으로 나온다.

 

Example4) 포물면 z = x² + y² 아래, xy평면 위, 원주면 x² + y² = 2x 의 안쪽에 높여있는 입체 도형의 부피를 구하여라.

 

일단극 직교좌표로 주어졌으나 극좌표로 생각해야 쉽게 풀릴 수 있는 문제다. 못 믿겠으면 직교 좌표로 한번 풀어 보고 오길..

 

∬_D x² + y²dx dy = ∬_R r²cos²θ + r²sin²θ r dr dθ =  ∬_R r²r dr dθ

 

이제 범위를 알아야 한다. x² + y² = 2x 를 극좌표로 바꾸면

r²cos²θ + r²sin²θ =  2rcosθ 

r² = 2rcosθ

r = 2cosθ

그리고 x² + y² = 2x 는 정리하면 (x-1)² + y² = 1 이고 그래프는 x ≥ 0인 영역에 그려지는 원이므로, 극좌표에서 θ의 범위는 -π/2 ≤ θ ≤ π/2 이다. 즉

 

R = { ( r , θ ) | -π/2 ≤ θ ≤ π/2 , 0 ≤ r ≤ 2cosθ }

 

V = ∬_R r²r dr dθ = ∫_-π/2^π/2∫₀^2cosθ  r³ dr dθ

 

 

계산은 생략! 답은 3π/2