[Calculus] Partial Derivative - Maximum and minimum values

f(x, y)의 최댓값(absolute maximum value) 또는 최솟값(absolute minimum value)은 아래와 같이 구한다.
f(x, y)를 편미분(partial derivative) 하여 x와 y가 0이 되는 점을 모두 찾는다.
이 점들이 임계점(critical point)이다. 임계점은 기울기가 0이 되는 값으로, 대부분의 임계점은 극댓값(local maximum value) 또는 극솟값(local minimum value)이지만 다 그런 것은 아니다. 대표적인 예로 안장점(saddle point)이 있다.

 

 

즉, 편미분 값이 0이 되는 점을 찾았으면 그 값이 최댓값 또는 최솟값인지 판별해야 한다. 판별식 D는 다음과 같다.

 

D(a,b) = f_xx(a , b) f_yy(a, b) - (f_xy(a, b))²

 

D < 0 일 경우, saddle point이다. 즉 극댓점(local maximum)이나 극솟점(local minimum)이 아니다.

D > 0 일 경우 f_xx(a,b) < 0 일 경우 극댓점, f_xx(a,b) > 0 일 경우 극솟점이다.

 

이 점을 f(a, b)에 대입하면 값을 구할 수 있다.

 

최댓값이나 최솟값을 구하고자 할 경우, 극댓값들을 모두 구한 후 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최소값이다.

 

 

 

단,

 

범위가 설정 되어 있는 경우, 범위의 경계에 있는 값도 살펴 보아야 한다. 경계면에 있는 값이 최댓값, 또는 최솟값일 수도 있는데 이는 임계점이 아니므로 위의 계산 과정에서는 도출 될 수가 없다. 따로 검사를 해 보아야 한다.

 

Ex. Find the absolute maximum and minimum values of the function

f(x , y) = x² - 2xy + 2y on the rectangle D = {(x, y) | 0≤x≤3, 0≤y≤2}

 

편미분값을 구한다.

 

f_x(x , y) = 2x - 2y

f_y(x, y) = -2x + 2

 

편미분의 값이 0이 되는 점은 (1, 1), 판별식을 사용하기 위해 fxx, fyy, fxy를 구한다.

f_xx(x, y) = 2

f_yy(x, y) = 0

f_xy(x, y) = -2

 

판별식 D(0, 0) = 0x(-2) - 4 < 0 즉 saddle point이다.

 

정의역 D에 의한 범위의 경계를 살펴 본다. 경계는 x = 0, x = 3, y = 0, y = 2이다.

 

case x = 0,

x가 0인 경계를 먼저 살펴 보면 f(0, y) = 2y, 여기서 y의 범위는 0 ≤ y ≤ 2

즉 이 경계선에서 최댓값은 (0, 2) 일때의 4, 최솟값은 (0,0)일때의 0

 

case x = 3, f(3, y) = 0 + 2y, 0 ≤ y ≤ 2

maximum value is 4 at (3, 2), minimum value is 0 at (3, 0)

 

case y = 0, f(x, 0) = x², 0 ≤ x ≤ 3

maximum value is 9 at (3, 0), minimum value is 0 at (0, 0)

 

case y = 3, f(x, 2) = x² - 4x +4 = (x - 2)², 0 ≤ x ≤ 3

maximum value is 4 at (0, 2), minimum value is 0 at (2, 2)

 

즉, 모든 경우를 다 계산 했을때 최댓값은 9, 최솟값은 0이다.