이상 기체식을 이용하여 문제 풀기

고등학교 시절엔 '보일의 법칙', '샤를의 법칙'을 공부하고, 이를 토대로 문제를 풀었었지만, 대학생 학부 수준에서는 이 두 공식을 잊어도 좋다. 어짜피 이 두 공식에 의해 나온 식이므로 잊는다는 표현은 적절치 않을 수 있으나 여튼 굳이 구분해서 외울 필요는 없단 것이다. 이 모든것을 합쳐 놓은 '이상 기체식'만 있으면 웬만한 문제는 다 풀 수 있다.

 

PV = nRT

 

여기서 R은 기체 상수로서 단위에 맞게(J/mol-K, L-atm/mol-K 등) 여러 값 들이 있으나 편의를 위해 L-atm/mol-K 하나만 생각 한다. 즉

 

R = 0.08206 L-atm/mol-K

 

라고 못박는다. 이렇게 되면 모든 부피값은 L 로 변환해야 되고 V는 atm, n은 mol 으로 맞춰줘야 한다. 즉

 

n = 몇 mol?

P = 몇 atm?

V = 몇 L?

T = 몇 K?

R = 0.08206 L-atm/mol-K

 

라고 볼 수 있다. 이 공식을 기반으로 나오는 문제들은

 

압력과 부피와 온도가 주어지고 몰수를 구하라

압력과 온도와 몰수가 주어지고 부피를 구하라

부피와 온도와 몰수가 주어지고 압력을 구하라

 

등등.. 문제는 길고 장황하지만 실제로는 위와 같이 공식에 넣어 방적식만 풀어 내면 되는 문제들이다.

 

Ex) 염소는 수돗물 정수와 수영장 물의 소독에 널리 사용된다.

895torr와 24도씨에서 특정 시료 Cl₂ 기체의 부피가 8.70L라고 가정하자.

(a) 시료 중 Cl2는 몇 그램인가?

(b) STP에서 Cl2의 부피는 얼마인가?

(c) 압력이 876torr에서 그 부피가 15.00L이면 온도는 얼마인가?

(d) 58도씨일때 부피가 5.00L이면 압력은 얼마인가?

 

해결법)

(a) 그램수를 묻고 있지만 결국 이상기체식을 사용해서 n의 값, 즉 mol 수를 구하라는 것이다. 거기다 분자량만 곱하면 되는 것이다.

(b) 문제에서 이미 압력과 온도가 주어졌고 그에 따른 부피가 나와 있으므로 비례식으로 풀면 된다.

(c) 마찬가지로 비례식으로 풀면 된다.

(d) 같은 맥락이다. 언급할 필요가 없다.

 

하나씩 풀어보자.

 

풀이)

우선 우리는 기체 상수를 0.08206 L-atm/mol-K 로 정했으므로 모든 단위를 이에 맞추어 준다.

 

895torr 을 atm으로 변환하면 895torr / 760torr x 1atm = 1.177631578947368atm

(유효 숫자는 최종적으로 계산한 후에 적용시킨다. 일단은 계산기에서 허용하는 자릿수까지 나타낸다.)

24℃ 를 K로 변환하면 24 + 273 = 297K

 

(a) 시료 중 Cl₂는 몇 그램인가?

 

mol 수를 먼저 구해야 하므로 이상기체식을 n을 기준으로 정리한다.

 

n = PV/RT

 

그리고 주어진 값들을 하나씩 넣기만 하면 된다.

 

n = 1.177631578947368 atm * 8.70L / ( 0.08206 L-atm / mol-K ) * 297K

n = 10.2453947368421 L-atm / 24.37182 L-atm / mol

n = (10.2453947368421 / 24.37182 ) mol

n = 0.4203787298955146 mol

 

Cl2의 분자량은 70.906g/mol 이므로 둘을 곱한다.

 

0.4203787298955146 mol * 70.906g/mol = 29.80737422197136g

 

유효숫자는 3개이므로

Cl₂의 질량 = 29.8g

 

 

(b) STP에서 Cl2의 부피는 얼마인가?

 

STP는 1기압, 0℃환경을 말한다. 특정 압력과 온도에서의 부피가 나와 있으므로 단순 비례식을 사용하면 된다.

 

1.177631578947368 atm / 1 atm * 8.70L = 10.2453947368421 L

273K / 297K * 10.2453947368421 L = 9.417484051036678 L

 

유효숫자는 3개이므로

부피 = 9.42L

 

 

(c) 압력이 876torr에서 그 부피가 15.00L이면 온도는 얼마인가?

 

공식에 그대로 넣어보자. 온도를 구하는 문제이므로 식을 T를 기준으로 정리한다.

 

PV = nRT

T = PV/nR

 

이제 값을 하나씩 넣으면 된다. n의 값은 위에서 구한 mol 값을 넣으면 된다.

 

876torr면 1.152631578947368atm이다.

 

T = 1.152631578947368 atm * 15.00L / 0.4203787298955146 mol * 0.08206 L-atm / mol-K

T = (1.152631578947368 * 15.00 / 0.4203787298955146 * 0.08206 ) K

T = 17.28947368421052 / 0.0344962785752259 K

T = 501.198227701792 K

 

유효숫자는 3개이므로

T = 501K

 

 

(d) 58도씨일때 부피가 5.00L이면 압력은 얼마인가?

 

이번에도 식을 압력 기준으로 맞추고 값만 넣으면 된다.

 

P = nRT / V

P = 0.4203787298955146 mol * 0.08206 atm-L / mol-K * 331K / 5.00

P = ( 0.4203787298955146 * 0.08206 * 331 / 5.00 ) atm

P = 11.41826820839978 / 5.00 atm

P = 2.283653641679956

 

유효숫자는 3개이므로

P = 2.28

 

Ex2 ) 0.970 atm 과 35℃에서 NO₂의 밀도를 계산하라

 

밀도는 질량분의 부피이므로 이상 기체식에서 n/V를 구해서 분자의 몰질량만 곱해주면 된다.

PV = nRT에서 양변을 정리하며 

 

n/V = P/RT 로 나타낼 수 있다. P와 T가 주어졌으므로 계산을 해 보면

 

n/V = 0.970 atm / 0.08206 atm-L/mol-K * 308K

n/V = 0.970 / ( 0.08206 L/mol )

n/V = 0.0383786333091719 mol/L

NO₂의 몰질량은 46.01g이므로

 

0.0383786333091719 mol/L * 46.01g/mol

 = 1.765800918554999g / L

 

유효숫자는 3개이므로

1.77g/L

 

Ex3 ) 685 torr와 35℃에서 2.50g이 0.875L를 차지하는 기체의 몰질량은?

 

압력, 온도, 부피가 주어졌으므로 몰수를 구할 수 있다. 그 몰수 x 몰질량이 2.50g 이므로

몰질량은 간단한 방정식으로 쉽게 계산 가능하다.

 

n = PV/RT

n = 0.9013157894736842 atm * 0.875 L / 0.08206 atm-L/mol-K * 308K

n = ( 0.7886513157894737 / 25.27448 ) mol

n = 0.0312034635644125 mol

 

즉 0.0312034635644125 mol이 2.50g이라는 것이다.

2.50g에 0.0312034635644125 mol 을 곱하면

 

80.11931094890524g

 

유효숫자 3개이므로

몰질량 = 80.1g/mol

 

* 실제 기체를 합성할 때 수상포집을 많이 이용 하므로 수상포집에 관한 문제도 많이 나온다. 똑같이 이상 기체 식을 사용해서 계산하면 되지만 딱 한가지 다른 점은, 수상 포집된 기체엔 수증기가 섞여 있으므로 최종적으로 계산된 압력에서 수증기 압을 빼 줘야 한다는 것이다.

 

Ex4 ) 아연과 황산이 수소를 만든다.

Zn(s) + H₂SO₄(aq) -> ZnSO₄(aq) + H₂(g)

습기가 있는 H₂ 159mL를 24℃와 738torr에서 수상포집할때 몇 그램의 Zn이 소비되는가?

 

아연분자와 황산분자의 반응 비율이 1:1이므로 아연 1분자당 수소 1분자가 생성된다.

즉, H2가 159mL, 24℃, 738torr에서 몇 mol이 존재하는지 계산 하여 Zn의 몰질량을 곱해주면 된다.

단, 수상포집이므로 수증기압을 빼고 계산 해야 한다는 것을 잊으면 안된다.

 

수증기압은 외울 수 있는게 아니고 부록표를 찾아봐야 하는 것이다. 문제에 주어지거나 부록 표가 첨부 될 것이다.

일단 24℃에서의 수증기압은 22.38 torr이다.

 

738 torr - 22.38 torr = 715.62 torr

715.62 torr / (760 torr / atm) = 0.9412894736842105 atm

 

n = PV/RT

n = 0.9412894736842105 atm * 0.159L / 0.08206 L-atm/mol-K * 297K

n = ( 0.9412894736842105 * 0.159 / 0.08206 * 297 ) mol

n = 0.1496650263157895 / 24.37182 mol

n = 0.0061409047956119 mol

 

H2가 0.0061409047956119 가 생성된다는건 Zn 도 0.0061409047956119 mol 이 필요 하다는 것이다.

 

Zn의 몰질량은 65.39g/mol 이므로

 

0.0061409047956119 mol * 65.39g/mol = 0.4015537645850621g

 

유효숫자는 3개이므로

0.402g Zn